มีใครสนใจทำวิจัยทฤษฎีกราฟบ้าง ?

[alongkorn]

เมื่อวันที่ 17-19 ม.ค. ที่ผ่านมานี้ ผมได้เข้าร่วมประชุม Workshop on Graph Theory 2005 ที่ มศว ประสานมิตร และผมมองเห็นว่ายังมี conjecture อีกมากมายที่ยังไม่มีใครพิสูจน์ได้ และเพียงแค่รู้นิยามและทฤษฎีบทเพียงเล็กน้อย ความรู้ทฤษฎีจำนวนนิดหน่อย (นิดหน่อยจริงๆ) ก็สามารถเข้าถึงปัญหาได้แล้ว ผิดกับคณิตศาสตร์สาขาอื่นที่อาศัยความรู้พื้นฐานเยอะมากจึงจะทำวิจัยได้ ขณะนี้ผมสนใจ Total Coloring Conjecture อยู่ กำลังหา subgraph ที่เป็น maximal with respect to type 2-property (คำนี้แต่งเอง ไม่เป็นทางการซักเท่าไหร่) มีใครสนใจบ้าง ผมจะส่งข้อมูลเพิ่มเติมให้

[warut]

น่าสนใจมากครับ เสียดาย...เสียดายจริงๆ...ที่ผมไม่เคยเรียน Graph Theory เลยครับ
ไม่งั้นคงจะมีโอกาสได้ขอแจมบ้าง

[gon]

น่าสนใจเช่นกันครับ. แต่ความรู้ผมเรื่องนี้ตอนนี้เป็นศูนย์ ว่าแต่เรื่องตรีโกณกับพหุนามอะไรนั่น คิดแล้วได้หรือครับ.

[KuNeSS]

อยากเข้าร่วมบ้างง ครับ เเต่อยู่ ม.ปลายนี่เข้าได้รึป่าวครับ ไม่รุ้ว่ามันยากรึป่าว เเต่น่าคิดครับ เเล้วก้อ คุน gon หรือคัยก้อได้คับ ช่วยข้อนี้หน่อย ทำมา2เดื่อนเเล้ว ยังไม่ได้เลย
Pf that S1/(G+S-x_{}i^{}n) ฃ 1/G เมื่อ G=Px_{}i S=Sxin xiฮrealnumber ขอบบคุนครับ

[alongkorn]

ตอนนี้คิดออกแค่การหารากของ T₀(x) + T₁(x) + ... + T_n(x) = 0 ครับ ส่วน c₀T₀(x) + c₁T₁(x) + ... + c_nT_n(x) = 0 เมื่อ c_n ฮ R ทุก n ฮ N ศ {0} ยังคิดไม่ออกครับ ถ้าคิดออกก็หมายความว่า ได้สูตรสำหรับหารากของสมการพหุนามทุกดีกรีครับ

[KuNeSS]

พิมตรงนั้นไม่เป็นครับ เอาอันนี้ดีกว่า

[KuNeSS]

อุ๊ย ลืมอีกเเล้ว xi ฮpositive real number

[gon]

เอาใจช่วยให้คุณอลงกรณ์คิดได้สำเร็จนะครับ.

สำหรับของน้อง KuNess อ่านแล้วไม่เข้าใจครับ. อะไรคือดัชนีกันแน่ i หรือ n ลองเขียนกระจายออกมาให้ดูสัก 2 พจน์สิครับ. แล้วตั้งเป็นคำถามใหม่จะดีกว่าครับ.

[nooonuii]

พอจะเข้าใจโจทย์แล้วครับ ข้อนี้เป็น generalisation ของ USAMO'1997
ก่อนอื่นจะพิสูจน์อสมการนี้ก่อนครับ

Lemma : \[ x_{1}...x_{n}(x_{1}+...+x_{n})\leq x_{1}^{n+1}+...+x_{n}^{n+1} \]

โดยอสมการ AM-GM จะได้ว่า
\( \large{x_{1}...x_{n} \leq \large{(} \frac{x_{1}+...+x_{n}}{n} \large{)}^{n}} \)

ดังนั้น \( x_{1}...x_{n}(x_{1}+...+x_{n})\leq n \large{(} \frac{x_{1}+...+x_{n}}{n} \large{)}^{n+1} \leq x_{1}^{n+1}+...+x_{n}^{n+1} \)

อสมการหลังสุดมาจากอสมการ power mean
-----------------------------------------------------------------------------------------------
ให้ \( T = x_{1} +...+x_{n} \)
จาก Lemma ข้างบนเราจะได้ว่า
\[ S-x_{i}^n \geq \frac{G}{x_{i}}( T-x_{i} ) \]
ทุกค่า i = 1,2,...,n
ดังนั้น \( G + S - x_{i}^{n} \geq \large{\frac{GT}{x_{i}}} \)
จากนั้นเอามาเขียนเป็นส่วนกลับแล้วก็บวกกันทุกเทอมก็จะได้อสมการตามต้องการครับ