ข้อสอบTMO 9 จะเดินทางมาถึงตอนไหนครับ :)

[polsk133]

ได้มาละครับจากคุณ Coke

ปล.ภาพใหญ่เกินแฮะ ทำให้เล็กไม่เป็น รอคนอื่นละกันครับ - -

[Jade1209]

อยากได้มั่ง เพราะผมคงไม่มีทางได้ไปแข่ง = ='

[coke]

รอคนลงกึได้ครับแต่ถ้าอยากได้ก่อนเดี๋ยวส่งทางmailได้นะครับ

[passer-by]

ผมปรับภาษาให้มันกระชับขึ้นในบางข้อนะครับ

DAY 1 :

1. ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมุมฉาก โดย B เป็นมุมฉาก ,ให้ P เป็นจุดบน BC และ $\omega$ เป็นวงกลมที่มี CP เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ,ให้ $\omega$ ตัด AC ที่ Q และ AP ตัดวงกลม $\omega$ อีกครั้งที่ R พิสูจน์ $ CP^2 = AC\cdot CQ - AP \cdot PR $

2. ให้ $ a_1 ,a_2 ,....,a_{2012}$ เป็นจำนวนเต็มต่างกันหมด พิสูจน์ $$ \prod_{i=1}^{2012}(x-a_i) = (1006!)^2 $$ มีรากจำนวนเต็มอย่างมาก 1 ค่า

3. ให้ m,n เป็นจำนวนเต็มคี่ >1 และ (m,n)=1 พิสูจน์ $ \left\lfloor \frac{m^{\phi(n)+1}+n^{\phi(m)+1}}{mn} \right\rfloor $ เป็นเลขคู่

4. กำหนดสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD ยาวด้านละ 1 หน่วย สร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก ABE, BCF, CDG, ADH โดย E,F,G,H อยู่นอกสี่เหลี่ยมจัตุรัส และ $ A\hat{E}B = B\hat{F}C = C\hat{G}D = A\hat{H}D =90^{\circ}$ พิสูจน์ว่าพื้นที่สี่เหลี่ยม ที่เกิดจาก incenter ของสามเหลี่ยม ABE, BCF, CDG, ADH ไม่เกิน 1 ตารางหน่วย

5. หา all $ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ซึ่ง $ f(f(x)+xf(y)) = 3f(x) +4xy $ ทุกจำนวนจริง x,y

6. นักเรียน n คน ($n \geq 100$) แข่งเป่ายิ้งฉุบแบบพบกันหมด คู่ละ 1 ครั้ง โดยผู้ชนะได้ 2 คะแนน ผู้แพ้ได้ 0 คะแนน และถ้าเสมอได้คนละ 1 คะแนน หลังจากการแข่งขันสิ้นสุดลง หาคะแนนรวมนักเรียนแต่ละคน

หาค่า n น้อยสุดที่ทำให้ข้อความด้านล่างเป็นจริงเสมอ

" ถ้าทุก 100 คนใดๆ มี คนที่ชนะ 99 คนที่เหลือ และมีคนแพ้ 99 คนที่เหลือ แล้ว ผู้แข่งขันทุกคนได้คะแนนรวมแตกต่างกันหมด"

Note : It's hardest question in this TMO. The answer is 197 , and original version comes from a contest in China 2007.

[passer-by]

DAY 2 :

7. ให้ a,b เป็นจำนวนเต็มที่ (a,b)=1 และให้ m เป็นจำนวนเต็มที่ $ 5 | ma^2+b^2$ พิสูจน์ว่ามีจำนวนเต็ม n ซึ่ง $ 5|m-n^2$

(Note : ข้อนี้สามารถ generalize จาก 5 เป็น prime number $ p \equiv 1{\pmod 4} $ ได้

8. นักเรียนชายและหญิง อย่างละ 2n คน แข่งเทควันโดแบบพบกันหมด และมีเกณฑ์ให้คะแนนดังนี้

(ก) ถ้าเพศเดียวกันแข่งกัน ผู้ชนะได้ 3 คะแนน ผู้แพ้ได้ 0 คะแนน และเสมอคนละ 1 คะแนน

(ข) ถ้าชายแข่งกับหญิง ในกรณีที่หญิงชนะ จะได้ 3 คะแนน แพ้ 0 คะแนน และเสมอได้ 2 คะแนน ในกรณีชายชนะ ได้ 2 คะแนน แพ้หรือเสมอได้ 0 คะแนน

หลังการแข่งขันสิ้นสุด หาคะแนนรวมเด็กแต่ละคน และ P แทนจำนวนคู่แข่งขันที่ผลการแข่งขันเสมอ และ Q แทนจำนวนคู่แข่งขันทั้งหมด ถ้านักเรียนที่ได้คะแนนสูงสุดได้ 4n-1 คะแนน หาค่า $\frac{P}{Q}$

9. n เป็นจำนวนเต็มบวก และ P(x) เป็นพหุนาม monic ดีกรี n ที่สัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นจำนวนจริงบวกและ constant term = 1 ถ้า P(x) = 0 มีรากทุกตัวเป็นจำนวนจริง พิสูจน์ $ P(x) \geq (x+1)^n ,x >0$

10. ให้ x เป็นจำนวนอตรรกยะ พิสูจน์ว่ามีจำนวนเต็ม m,n ซึ่ง $ \frac{1}{2555} < mx+n < \frac{1}{2012}$

(Note : It's special case of Kronecker Theorem : nv+m dense in R ,where v is positive irrational and n positive integer , m integer)

11. กำหนดสามเหลี่ยมุมแหลม ABC และ CP เป็นส่วนสูง ให้ $ \omega$ คือวงกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง BC ,จากจุด A ลากเส้นสัมผัส AD, AE มายัง $\omega$ ,เส้นสัมผัส AD,AE ตัดเส้นตรง BC ที่ M,N ตามลำดับ โดย B อยู่ระหว่าง M,C ,ให้ CP ตัด DE ที่ Q และ ME ตัด ND ที่ R และ QR ตัด BC ที่ S พิสูจน์ QS แบ่งครึ่งมุม DSE

12. ให้ a,b,c เป็นจำนวนเต็มบวก และ $ \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a} \in \mathbb{Z} $ พิสูจน์ abc เป็นกำลังสามสมบูรณ์

(Note : COPIED FROM OLD CONTEST!)

[polsk133]

ขอบคุณครับที่อุส่าเขียนให้เลย

ปล.ผมว่าวันสองโหดกว่าวันแรกเยอะเลย

ดีนะที่ปีนี้ผมยังไม่ได้ไป 5555+ไปก็เปลืองที่เปล่าๆ

[PP_nine]

ดูโหดขึ้นกว่าปีที่แล้วเยอะเลย สงสัยใช้รับมือเด็ก สสวท. เก่าหรือเปล่าเนี่ย

ข้อที่ดูง่ายสุดก็น่าจะ 2,3,7

ข้อ 2 ใส่ absolute ในสมการ ใช้ความที่ $a_i$ แตกต่างกันหมด และทุกแฟคเตอร์ต่างเป็นจำนวนเต็ม

ข้อ 3 แบ่งให้เป็นส่วนของจำนวนเต็มกับส่วนของเศษส่วน พอถอด floor ออกมาที่เหลือมันจะ obvious ทันที

ข้อ 7 ใช้ Quadratic Residue น่าจะง่ายที่สุด แต่ทำจริงคงต้องเขียนพิสูจน์เต็มไปหมด

[Beatmania]

ผมทำไม่ค่อยได้เลยครับ ปีนี้เห็นว่าทำกันได้เยอะจริงๆ

[polsk133]

ตอนนี้ผลน่าจะออกแล้วนะครับบ ยินดีด้วยกับทุกคนนน

[กระบี่ทะลวงด่าน]

ข้อหนึึ่งก็ง่ายนะครับ เเค่ลาก pq,cr. เเล้วใช้. Power of point ก็ออกเเล้วครับ

[Kaito1412]

ข้อ 1 น่าจะได้คะแนนกันทุกศูนย์ ง่ายสุดแล้ว

มีเหรียญทอง 9 เหรียญ

เหรียญเงิน 18 เหรียญ

เหรียทองแดง 32 เหรียญ (น่าจะเป็นคะแนนที่เท่ากันเยอะมาก )

สอบปีนี้คะแนนติดกันมากครับ เพราะทำได้ข้อเหมือน ๆ กัน


ยินดีกับทุกคนที่ได้เหรียญด้วยนะครับ

ส่วนใครที่ไม่ได้ก็ไม่ต้องเสียใจ โอกาสหน้ายังมี

โชคดีทุกคนครับ

[หยินหยาง]

#11
การให้เหรียญรางวัลใช้อัตราส่วน

ทอง : เงิน : ทองแดง = 1 : 2 : 3

ปกติแต่ละปีจะให้เหรียญประมาณ 60 เหรียญบวกลบ

[Kaito1412]

#12

เอ่อ ผมเห็นในสมุด เค้าเขียนว่าจะให้เหรียญไม่เกินกึ่งหนึ่ง ของผู้เข้าแข่งขัน ไม่ใช่หรอครับ ?

เค้าขีดเส้นใต้อย่างดีเลย

ผู้เข้าแข่งก็มี 96 คน ตามที่ผมเข้าใจก้น่าจะ ได้เหรียญแค่ 48 คน ไม่ใช่หรอครับ - -

[tatari/nightmare]

เจอรุ่นน้องที่เพิ่งสอบวันที่สองเสร็จ....บอกว่าทำได้ 5 ข้อ ทำเรขาไม่ได้อย่างเดียว!!!
็Hint ข้อ 11
1. Q เปนจุดศูนย์รวมตั้งฉากของสามเหลี่ยม ABC
2. A,Q,R อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน.....จบการพิสูจน์

[หยินหยาง]

หลักเกณฑ์ในการให้เหรียญจะใช้หลักเกณฑ์คล้ายๆการแข่ง IMO จะให้เหรียญประมาณครึ่งหนึ่ง
ปกติจะมีศูนย์ สอวน. 16 ศูนย์ เป็นศูนย์ภูมิภาค 15 ศูนย์ ตัวแทนแต่ละศูนย์ๆ ละ 6 คนรวมเป็น 90 คน ศูนย์ กทม. (ศูนย์สวนกุหลาบ) 1 ศูนย์เทียบเท่า 3 ศูนย์ภูมิภาคจึงมีตัวแทน 18 คน รวมทั้งสิ้น 108 คน และมีคนมาจาก สสวท รอบแรกอีประมาณ 10-12 คน รวมแล้วประมาณ 120 คน ดังนั้นเหรียญรางวัลก็จะมี ประมาณ 60 เหรียญ ยกเว้นปีที่ยกเลิกการแข่งขัน สสวท จะมีการคัดเลือกรอบพิเศษอีกประมาณ 20 คนถ้าจำไม่ผิด ทำให้ปีนั้นมีเหรียญรางวัลเกิน 60 เหรียญ แต่ก็ยึดหลักเกณฑ์เดิมครับ แล้วผมก็คิดว่าปีนี้ก็เหมือนปกติครับ