ข้อสอบ PAT1 ที่สอบวันที่ 10 ต.ค
 

ข้อสอบ PAT1 ที่พึ่งสอบไปเมื่อวาน (10 ตุลาคม 2552) มีข้อหนึ่งที่ผมสงสัยว่า มันคิดแบบไหน แบบแรกได้คำตอบ 3 แบบที่สองได้คำตอบ 4 แบบไหนถูก หรือไม่ถูกทั้งสองคำตอบ เลย

\[\lim_{n \to \infty} \frac{(3n + 12n + 27n + ... + 3n^3)}{(1 + 8 + 27 + ... + n^3)}\]

ถ้าจะคิด โดยมองว่า สัมประสิทธิ์หน้าตัวแปร n ที่ยกกำลังสูงที่สุด ของตัวบนตัวล่าง ได้คำตอบเป็น 3 ไม่รู้ถูกหรือเปล่า

\[\lim_{n \to \infty} \frac{(3n + 12n + 27n + ... + 3n^3)}{(1 + 8 + 27 + ... + n^3)} = \lim_{n \to \infty} \frac{3n^3}{n^3} = \frac{3}{1} = 3\]

หรือว่า แปลงค่าก่อนเช่น (ผมไม่รู้ว่าผมคิดมากไปหรือเปล่า)

\[\lim_{n \to \infty} \frac{(3n + 12n + 27n + ... + 3n^3)}{(1 + 8 + 27 + ... + n^3)} \]

\[= \lim_{n \to \infty} \frac{(3(1^2)n + 3(2^2)n + 3(3^2)n + ... + 3(n^2)n)}{\sum_{i = 1}^{n} i^3 } \]


\[= \lim_{n \to \infty} \frac{3n(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2)}{ (\frac{(n^2 + n)}{2})^2 } \]

\[= \lim_{n \to \infty} \frac{3n(\frac{(n(n+1)(2n+1)}{6})}{ (\frac{n^4 + 2n^3 + n^2)}{4}) } \]

ผมคิดเฉพาะตัวที่ยกกำลังสูงที่สุดเท่านั้นนะครับ

\[= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{6n^4}{6}}{\frac{n^4}{4}} \]

\[= \lim_{n \to \infty} \frac{4n^4}{n^4} \]

\[= 4 \]

ขอบคุณล่วงหน้าครับ

รู้ข้ออื่นอีกป่าวครับ ใครรู้โพสมาบ้าง ได้อ่าน
ทำไม่ค่อยได้
T T
ทำกันได้เยอะมั้ยครับ

ทำแบบหลังครับ ทำแบบแรกค่ามันจะหายไปเยอะครับ

ข้อนาฬิกาครับ
นาฬิกาเรือนหนึ่ง กำหนด $\theta$ อยู่ระหว่าง 0 ถึง 180 องศา เวลา ณ ขณะนั้นคือ ตอนเที่ยงตรง ถามว่า เข็มยาว จะ ทำมุมกับเข็มสั้นครั้งแรกเท่าใด (ตอบติด $\theta $)

ข้อสถิติ
ข้อมูล 5 ตัว มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 12 ควอไทด์ที่หนึุ่่้งเป็น 5 และ ควอไทด์ที่สามเป็น 20 จงหา เดไซด์ที่ 5

ข้อตรีโกณ
กำหนด $\theta$ อยู่ระหว่าง 0 ถึง 45 องศา ถ้า $(sin\theta + cos\theta)^2$ = 1
จงหา $arccos(tan3\theta)$

ถ้า $ 1 - cot20 = \frac{x}{1-cot25} $ จงหาค่า x


การนับ
จงหาจำนวนวิธีการจัดการแข่งขันฟุึตบอล โดยกำหนดให้พบกันหมด ถ้ามีทีม 7 ทีม จะต้องจัดการแข่งขันทั้งหมดกี่นัด

มีสิ่งของ 8 สิ่ง ต้องการแบ่งให้คน 2 คน โดยคนแรก ได้ของ 6 อย่าง คนที่สองได้ของ 2 อย่าง จงหาว่าแบ่งได้ทั้งหมดกี่วิธี

(Choice) ทอยลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็นที่ ผลรวมแต้มของลูกเต๋าจะเป็น 7 และ มีลูกใดลูกหนึ่งที่มีแต้มหงายมากกว่า 4
choice มี 1/3 1/6 ประมาณนี้


พาราโบลามีจุดยอดที่ (-1,0) มีจุดกำเนิดเป็นจุดโฟกัส ถ้าสมการเส้นตรง y = x ตัดพาราโบลาที่จุด P และ Q จงหาระยะระหว่าง P กับ Q


ถ้า $f(x) = \frac{1}{x} $ และ $g(x) = 2f(x)$ แล้วจงหา $gof(3)$ +$f^-1 o g^-1$(3)


จำโจทย์ได้แค่นี้แหละครับ
ปล.ผมอาจเรียบเรียงโจทย์ได้ไม่ดีเท่าไหร่

ข้อ เดไซด์ที่ 5 ผมได้ 10 ครับ
ข้อ arccos(tan3θ) ผมได้ 0 องศาครับ

ข้อทีมฟุตบอลผมได้ 21 นัดครับ


ข้อนาฬิกาครับ ขอใช้วิธีเทียบง่ายๆ
พิจารณาเข็มยาวครับ $360^{\circ}/60 นาที = 6^{\circ} / นาที$
พิจารณาเข็มสั้นครับ $360^{\circ}/ 60\times12 นาที = \frac{1}{2}^{\circ}/นาที$

สมมติให้เวลาผ่านไป 30นาทีนะครับ เข็มยาวจะเดินได้ $180^{\circ}$ และเข็มสั้นเดินได้ $15^{\circ}$
เทียบครับ องศาต่างกัน $180^{\circ}-15^{\circ} = 165^{\circ}$ ใช้เวลา 30 นาที
ดังนั้น องศาต่างกัน $\theta$ องศา ใช้เวลา $\frac{30\theta}{165}$ นาที
ใช้เวลา$\frac{2\theta}{11}$ นาที

ข้อลิมิตน่าสนใจดีครับ เพราะรู้สึกมัธยมจะมีเรียนเกี่ยวกับ limเข้าใกล้อนันต์ว่าให้ดูพน์กำลังมากสุด แต่กรณีนี้เอาอนุกรมอนันต์มาร่วมด้วยเลยต้องรวมค่ามันซะก่อน(เพราะว่าตัวที่หารด้วยอินฟินิตี้มันไม่ใช่ 0 จริงแต่เป็น 0.กว่าๆ ไม่งั้นค่ามันจะหายไปอย่างที่คุณ nongtum ว่า)

ช่วยเช็คด้วยนะครับ

ข้อนาฬิกาจำไม่ผิด ตอบ \frac{2\theta }{11} ครับ
ข้อตรีโกณ arccos(tan3\theta ) = arccos(1) = 0 ครับ
ข้อหาค่า x ตอบ 2 ครับ [ทำด้วยความถึก อิอิ]

การนับ
จัดทีมฟุตบอล ตอบ 21 นัด
การนับ แบ่งของ 2 คน ได้ 2x28 = 56 วิธี
ลูกเต๋า ตอบ 1/6 ครับ
ระยะระหว่าง PQ ตอบ 8 ครับ
ข้อฟังก์ชันผมว่าโจทย์มันไม่ใช่แบบนี้นะครับ เดวขอเช็คก่อน

ข้อที่ทำแล้วช่วยเช็คด้วยนะครับ ว่าถูกไหม

โอ้วแย่แล้ว ลืมไปสนิทเลย ข้อลิมิตดันไปคิดแบบแรก ผมว่าแบบที่สองน่าจะถูกต้องกว่านะครับ

ข้อที่เป็นลอการิทึม นี่ทำได้ทั้งสองข้อ

จำคร่าว ๆ ว่าประมาณ
1. กำหนดให้ $log_y x + 4log_x y = 4$ แล้วจงหาค่าของ $log_y x^3$

$$log_y x + 4log_x y = 4$$

$$log_y x + 4 \frac{1}{log_y x} = 4$$

เอา $log_y x$ คูณตลอด จะได้

$$(log_y x)^2 + 4 = 4log_y x$$

จัดพจน์ใหม่ได้

$$(log_y x)^2 - 4log_y x + 4 = 0$$

แยกแฟกเตอร์ได้
$$(log_y x - 2)(log_y x - 2) = 0$$
$$log_y x - 2 = 0$$
$$log_y x = 2$$

ดังนั้น
$$log_y x^3 = 3log_y x = 3(2) = 6$$

2. ให้หาค่ารากที่น้อยที่สุดของ x จาก $2^{log(x-3)}\cdot 2^{log(x-2)} = 2^{log2}$ น่าจะประมาณนี้แหล่ะ
$$2^{log(x-3)}\cdot 2^{log(x-2)} = 2^{log2}$$
$$2^{log(x-3) + log(x-2)} = 2^{log2}$$
$$ log(x-3) + log(x-2) = log2 $$
$$ log(x-3)(x-2) = log2 $$
$$ (x-3)(x-2) = 2 $$
$$ x^2 - 5x + 6 = 2 $$
$$ x^2 - 5x + 4 = 0 $$
$$ (x - 4)(x - 1) = 0 $$
$$ x = 4 , 1 $$

แต่ผมว่าคงมีหลายคนตอบ 1 แน่นอนเลย เพราะคนออกโจทย์น่าจะดักไว้ นะครับ เพราะคาดว่า โจทย์ง่ายคนที่เรียนมาต้องคิดได้ แต่เนื่องจากข้อสอบเยอะ กลัวทำไม่ทัน เลยไม่ได้ตรวจสอบ เพราะเอา 1 ไปแทนแล้วทำให้ หลัง log มันติดลบ ยิ่งโจทย์ถามคำตอบที่มีค่าน้อยที่สุด เลยรีบตอบ 1 ไป

ดังนั้นข้อนี้ ตอบ 4 ครับ

ข้อตรีโกณ จากโจทย์ข้างบน

1. กำหนด $ 0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi }{4}$ ถ้า $ (sin\theta + cos\theta )^ 2 = \frac{3}{2} $ จงหาค่าของ $arccos(tan3\theta )$

จาก $$ (sin\theta + cos\theta )^ 2 = \frac{3}{2} $$
จะได้ $$ sin^2\theta +2sin\theta cos\theta + cos^2 \theta = \frac{3}{2} $$
จะได้ $$ 2sin\theta cos\theta = \frac{3}{2} - 1$$
จะได้ $$ sin2\theta = \frac{1}{2}$$
จะได้ $$ 2\theta = 30^\circ $$
จะได้ $$ \theta = 15^\circ $$

นำไปแทนค่า $$ arccos(tan3\theta ) = arccos(tan45^\circ) = arccos(1) = 0 $$

ตรีโกณมิติอีกข้อ (ตอนแรกคิดไม่ได้หรอก มาคิดได้ตอนกลางคืนนี่ ติดข้อนี้มากเลย ว่ามันคิดยังงัย)

หาค่า x จาก $1 - cot 20^\circ = \frac{x}{1 - cot 25^\circ} $

$$ 1 - cot 20^\circ = \frac{x}{1 - cot 25^\circ} $$
$$ x = (1 - cot 20^\circ)(1 - cot 25^\circ) $$
$$ x = 1 - cot 25^\circ - cot 20^\circ + cot20^\circ cot25^\circ $$

จาก $$cot 45^\circ = 1 $$
$$cot(20^\circ + 25^\circ) = 1 $$
$$\frac{cot20^\circ cot25^\circ - 1}{cot20^\circ + cot25^\circ } = 1 $$
$$cot20^\circ cot25^\circ - 1 = cot20^\circ + cot25^\circ $$
$$cot20^\circ cot25^\circ = cot20^\circ + cot25^\circ + 1$$

นำไปแทนค่า
$$ x = 1 - cot 25^\circ - cot 20^\circ + cot20^\circ + cot25^\circ + 1 $$
$$ x = 1 + 1$$
$$ x = 2 $$

รู้สึกเหมือนว่า PAT1 ข้อที่เป็นตรีโกณมิติ คราวเดือน กรกฎาคม ก็ตอบ 2 เหมือนกัน
ข้อที่เป็น $ \frac{sin30^\circ}{sin10^\circ} - \frac{cos30^\circ}{cos10^\circ}$

เพิ่มให้อีกข้อ เป็นข้อสอบ PAT-3 ครับ ช่วยคิดที

จากรูป ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ยาวด้านละ 10 หน่วย

และ BC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของรูปครึ่งวงกลม จงหาพื้นที่แรเงา...??

Attachment 1973
ลากตามนี้ครับ

ข้อแบ่งของไมตอบ 56 อ่ะครับ
คิดไม่เป็น ผมคิด
8C6 คูณ 2C2 เลย
ก็คิดว่าง่ายไป อ่ะ แต่คิดอย่างอื่นไม่ออก:p

ถ้าแบ่งเป็นสองกองตอบ $\binom{8}{6} \binom{2}{2}$

แต่ถ้าแบ่งให้คนสองคนต้องตอบ$\binom{8}{6} \binom{2}{2} \times 2!$ ครับ

:D:D:D

2! ข้างหลังมาจากการสลับที่คนหรอครับ ?
เค้าชี้ตายตัวที่ คนที่ 1 คนที่ 2 มีลำดับคนมาชัดเจน(คนแรกได้ 6 คนสอง ได้ 2 ไรงี้ ที่ผมคิดว่าน่าจะต้องสลับ โจทย์น่าจะถามว่า มีคนหนึ่งได้ 6 ชิ้น อีกคนหนึ่งได้ 2 ชิ้น แทนนะครับ แต่ไม่รู้อ่ะ เดาๆเอา )
ต้องคูณ 2! อีกหรอ
ผิดอีกและ แย่จัง

เออ มีข้อตัวเลือก หลอดไฟอ่ะครับ งงมาก
มีหลอดไฟ 12 หลอด เป็นหลอดเสีย 3 หลอด หยิบหลอดไฟขึ้นมา 4 หลอด จงหาความน่าจะเป็นที่ได้หลอดเสียไม่เิกิน 1 หลอด
งง ครับ

เราก็คิดที่หยิบเสีย 2 หลอด + เสีย 3 หลอด
แล้วมาลบกับทั้งหมด
น่าจะได้นะครับ

ก็เข้าใจครับ
คิดแล้วแต่มันไม่มีตัวเลือกครับ
ผมได้ 42/55 คิดกี่ทีก็ได้งี้ ช้อยรู้สึกจะมี 1/3 1/4 14/55 อะไรส่วน 99 ซักอย่างซึ่งดูแล้วไม่เท่ากับ 42/55 แน่นอน งงครับ ผมคอดผิดยังไง
แล้วก็ข้อแจกของด้านบนอ่ะครับ ต้องมี 2! เพราะอะไร เค้าเจาะจงว่ามีคนที่ 1 คนที่2 อยู่แล้ว จำเป็นต้องคุณสัลบที่อีก 2 ! ด้วยหรอครับ
งง ซีเรียสมาก

เหออๆ สะเพร่า เยอะมากเลยย =*= มีใครว่าข้อสอบแบบนี้มันฝนเยอะเกินบ้างงไหม

ผมฝนจนมือหงิกหมดล่ะ ยิ่งเจอ pat3 เข้าไป เหอะๆๆ

ข้อหลอดไฟคิดได้เท่ากันครับ
ส่วนอีกข้อนึง ผมไม่รู้โจทย์อ่ะครับ

โจทย์ว่างี้ครับ มีสิ่งของ 8 สิ่ง ต้องการแบ่งให้คน 2 คน โดยคนแรก ได้ของ 6 อย่าง คนที่สองได้ของ 2 อย่าง จงหาว่าแบ่งได้ทั้งหมดกี่วิธี

อยากได้วิธีทำข้อนี้เหมือนกันครับ แหะๆ

ถ้าผมคิดนะครับ
_ _ _ _ _ _ / _ _
ส่วนแรกให้คนได้ 6 อย่าง ส่วนหลังให้คนได้ 2 อย่าง
สลับของปกติได้ 8! แต่สลับในกลุ่มไม่ถือเป็นวิธีใหม่
ก็ได้ $\frac{8!}{6!2!}$ อ่ะครับ

ไม่รู้ว่าถูกรึเปล่านะครับ พอดีอายุยังไม่ถึงอ่ะ:haha::haha:

เออ $\frac{8!}{6!2!} $ = 28 ก็เท่ากับ
8C6 2C2 นี่ครับ 28 เท่่ากันเลย ถ้าถูกก็ดีจะได้มีคะแนนกับเค้ามั่งครับ :happy:

เก่งจังครับ อายุแค่นี้ก็คิดได้ขนาดนี้และ
T T เศร้าใจกะตัวเอง

ข้อหลอดไฟเหมือนจะคิดได้แต่จำไม่ได้ว่าทำยังไงครับขออภัย ไม่ทราบว่าเค้าถามความน่าจะเป็นที่หยิบเสีย1หลอดรึเปล่า

เค้าถามไม่เกิน 1 หลอด ครับ มั่นใจ จำได้ เพราะนั่งคิดอยู่ 3 รอบก็ไม่ออก
ถ้าแปลจากตัวโจทย์โดยตรงแล้ว ไม่เกิน 1 หลอด คิดว่าหยิบได้หลอดเสีย 1 หลอด + หยิบได้หลอดเสีย 0 หลอด เพราะ 0 หลอกก็ไม่เกิน 1 นิครับ

ไม่รู้ตัวข้อสอบPAT 1 ที่สอบเมื่อ 10 ต.ค.2552 ตัวเต็มจะหาได้จากไหนครับ อยากเอามาลองทำครับ
ไปเข้าหน้าเวปnisetแล้วรู้สึกว่าเขาโละข้อสอบเก่าที่เคยให้โหลดได้ฟรีหมดเลย
ถ้าใครมี รบกวนกระซิบผมหน่อยครับ

โจทย์เติมคำข้อ 15 ที่ถามเรื่องลำดับเลขคณิต ตอบอะไรอ่าคับ..วิธีคิดด้วยก็ดีนะงับบ:unsure: