|
ข้อสอบ IJSO 10 th (27 มกราคม 2556)
ขอบคุณมากครับคุณGon. ข้อสอบฉบับเต็มครับ
|
|
http://www.facebook.com/groups/HighS...4861521540621/
ฝากสมาชิกท่านอื่น เอารูปมาทิ้งไว้ในบอร์ดแล้วกันนะครับ |
ยังไม่มีใครเริ่เฉลยผมขอเริ่มเป็นปฐมฤกษ์ครับสัก 2 ข้อก็แล้วกัน
ข้อ 9 เรื่อง parabola จับให้เท่ากันเพื่อหาผลลัพธ์ของสมการ X^2 + a*X + 2 = a*X^2+ X + a (a-1)*X^2 + (1-a)*X + a -2 = 0 เนื่องจากเป็นจุดสัมผัสมีจุดเดียวดังนั้นคำตอบของสมการนี้จะมีคำตอบเดียวแสดงว่า B^2-4*A*C = 0 B = (1-a), A = (a-1) และ C = a-2 จะได้ (1-a)^2 - 4*(a-1)*(a-2) = 0 a^2-2*a+1-4*(a^2 -3*a+2)=0 3*a^2-10*a+7 = 0 (3a-7)(a-1) = 0 a = 1 หรือ 7/3 คำตอบข้อ B คือ 7/3 ANS |
เผอิญมันเลยเอาอีกข้อแล้วกัน
ข้อ 16 เรื่อง ความห่างกันระหว่าง plane สอง plane ในลูกบาศก์ข้อสอบนี้คล้ายข้สอบ ข้อ 19 ปีที่แล้วดังนี้ครับ http://www.mathcenter.net/forum/show...t=15652&page=4 ซึ่งคุณ Banker เคยเฉลยได้ดีมากว่าความยาว AP ซึ่งลากจากจุด A มาตั้งฉากกับ plane DBE เท่ากับ 4*(3)^0.5 หน่วย เช่นเดียวกันกับระยะที่ลากจากจุด G มาตั้งฉากกับ plane CFH เท่ากับ 4*(3)^0.5 หน่วย เช่นกันทั้งสองส่วนนี้เป็นส่วนของเส้นตรง AG ซึ่งวางตัวใน 3 มิติ โดย AG จะยาวเท่ากับ AG = (12^2+12^2+12^2)^0.5 = (3*12^2)^0.5 = 12*(3)^0.5 ดังนั้นระนาบทั้งสองจะห่างกันเท่ากับ 12*(3)^0.5 - 2*4*(3)^0.5 = 4*(3)^0.5 ตอบข้อ D ครับ จับให้เท่ากันเพื่อหาผลลัพธ์ของสมการ |
ยังไม่หายมันทำต่ออีกสักข้อ
ข้อ 14 แล้วกัน l นั้นเป็นรัศมีของวงกลมใหญ่เพราะผ่านจุดศูนย์กลาง o ดังนั้น l/2 จะเป็นรัศมีของวงกลมเล็กที่ไม่ได้มีการแรงเงา พื้นที่ A+B เท่ากับผลต่างระหว่างพื้นที่วงใหญ่กับวงเล็กดังนี้ A + B = Pi x l^2 - pi x (l/2)^2 = 3/4*pi*l^2 เนื้อที่ A/B = 1/2 A = 1/3*3/4*pi*l^2 = 1/4*pi*l^2 B = 2/4*pi*l^2 = 1/2*pi*l^2 ถ้าลากแนวดิ่งลงมาผ่านจุดศูนย์กลางจะได้ครึ่งวงกลมรัศมี l จะได้ว่า พทครึ่งกลมใหญ่ - ครึ่งวงกลมเล็ก = A + พื้นที่จาก l ไปถึงแนวดิ่ง 1/2(pi*l^2 - pi*(l/2)^2) = 1/4*pi*l^2+x x = 1/8*pi*l^2 1/8 ของวงกลมครอบคลุม sector ที่มีมุมเท่ากับ 360/8 = 45 องศา ANS ตอบข้อ C |
ง่วงนอน ขี้เกียจพิมพ์แล้ว ไว้มีเวลาค่อยลงเฉลยทั้งหมดทีหลัง มาช่วยกันหน่อยนะครับ
|
ข้อสอบ ijso ครับ
4 ไฟล์และเอกสาร
ijso ล่าสุด ครับ
|
หลายๆข้อ เหมือนปีเก่าๆเลยครับ
|
เยินไม่เป็นไร แต่ไม่ชัด ลอง scan ใหม่ดีไหม อ่านแ้ล้วปวดตา
|
ข้อ 6 ตอบเหมือนกันครับ
ข้อ 13 ช่วยอธิบายหน่อย เดี๋ยววันนี้เลิกงานสอนหนังสือแล้วจะเฉลยเพิ่มครับ ขอบคุณ |
ข้อ5.ถ้า $a=\frac{2012}{2013}$ และ $b=\frac{2555}{2556}$ แล้ว ข้อใดต่อไปนี้มีค่านัอยที่สุด
$A.a^a\quad\quad B.a^b\quad\quad C.b^a\quad\quad D.b^b$ จาก $a<b$ และ $a,b<1$ $b^a>b^b;\quad b^b>a^b$ $b^a>a^a;\quad a^a>a^b$ ดังนั้น $a^b$ มีค่าน้อยที่สุด ตอบข้อ. $B$ |
1.01A + 0.99B + 1.02C = 21........1 0.98A + 1.01B + 1.01C = 22...........2 1-2 0.03A - 0.02B + 0.01C = -1 0.06A - 0.04B +0.02C = -2.........3 1+3 1.07A 0.95B +1.04C = 19 ตอบ ข้อ C |
เมื่อตั้งลบกันจะได้ 0.12 221778399996 221778399996 221778399996 .... ตำแหน่งที่ 2013 คือเลข 3 ตอบ ข้อ C |
เมื่อ T ปีที่แล้ว x + y - 2T = 26(z - T) x+y = 26 z - 24T .....1 ปัจจุบัน x + y = 14 z........2 26z - 24T = 14z 12z = 24T z = 2T อีก T ปี พ่อแม่อายุ x+y+2T = 14z +z = 15 z ลูกอายุ z + T = $\frac{3z}{2}$ $\frac{พ่อ+แม่}{ลูก} = \frac{15z}{\frac{3z}{2}} = 10$ ตอบ ข้อ D |
พักกลางวันเลยแก้เครียดครับเอาข้อ 15 อีกข้อ
ใช้ pythagoras โดยจะมีสามเหลี่ยมหน้าจั่ว 2 รูป รูปใหญ่เขื่อมระหว่างจุดศูนย์กลางของ 2 วงเล็กกับ 1 กลาง ส่วนสามเหลี่ยมอีกรูปเชื่อมระหว่างจุดศูนย์กลางของวงเล็กกับวงใหญ่ที่คลุมทุกวงอยู่ แก้สมการเล็กน้อยจะได้วงใหญ่มีรัศมีเท่ากับ 40 หน่วย ข้อ C ครับ |
$x=\sin A,y=\cos A$ $x+y=m \rightarrow x^2+y^2+2xy=m^2 \rightarrow 2xy=m^2-1$ $(x^2+y^2)^2=1$ $x^4+y^4+2(xy)^2=1$ $2(xy)^2=\frac{1}{8} $ $xy=\pm \frac{1}{4} $ $A$ เป็นมุมในควอรันด์หนึ่งดังนั้น $xy$ ต้องเป็นค่าบวก $xy=\frac{1}{4}$ $m^2-1=\frac{1}{2} $ $m= \sqrt{\frac{3}{2}} $ $x^4+y^4=\frac{7}{8} $ $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)(1-xy)$ $=\sqrt{\frac{3}{2}} \times (\frac{3}{4} )$ $=\frac{3\sqrt{6} }{8} $ ตอบ ตัวเลือก C |
$A+B=90^\circ $ $\cos B=\sin A$ $2\cos^2A+\cos B=2\cos^2A+\sin A$ $=2+\sin A-2\sin^2 A$ $=2-2(\sin^2A-\frac{\sin A}{2} )$ $=2-2(\sin^2A-2(\frac{\sin A}{4})+\frac{1}{16} -\frac{1}{16})$ $=2+\frac{1}{8}-2(\sin A-\frac{1}{4} )^2 $ $=\frac{17}{8}-2(\sin A-\frac{1}{4} )^2 $ ค่าสูงสุดเกิดขึ้นที่ค่าของ $\sin A=\frac{1}{4}$ โดยมีค่าเท่ากับ $\frac{17}{8}$ ตอบข้อ A |
$ b > a $ สมมุติให้ $ \ b = \frac{1}{2}, \ \ a = \frac{1}{3}$ $ a^a = (\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}} \ \ \to \ a^{6a} = (\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}$ $a^b = (\frac{1}{3})^{ \frac{1}{2}} \ \ \ \to \ a^{6b} = (\frac{1}{3})^{ 3} = \frac{1}{27}$ $b^a = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}} \ \ \ \to \ b^{6a} = (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ $b^b = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} \ \ \ \to \ b^{6b} = (\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}$ ตอบ ข้อ B |
ข้อ 2 คราฟ ไม่รู้ถูกรึป่าว
1 ไฟล์และเอกสาร
จัดรูปข้อ A
|
ข้อ12ยากมากครับ ช่วยเฉลยด้วยครับ
|
ข้อ 13 ครับ
1 ไฟล์และเอกสาร
วาดรูปให้ดูครับ
|
อ้างอิง:
|
คำว่าสัมผัสคือแก้สมการแล้วได้คำตอบเป็นจำนวนจริงเพียงค่าเดียว $x^2+ax+2=ax^2+x+a$ $(a-1)x^2-(a-1)x+(a-2)=0$ สมการนี้มีคำตอบเดียวเมื่อ $(a-1)^2-4(a-2)(a-1)=0$ และ $a\not= 1$ $(a-1)(a-1-4a+8)=0$ $(a-1)(-3a+7)=0$ $a=1,\frac{7}{3} $ เหลือค่า $a=\frac{7}{3}$ ทำให้เกิดสิ่งที่โจทย์ถาม ตอบ B |
$2x=1+\sqrt{5} $ $2x-1=\sqrt{5}$ $(2x-1)^2=5 \rightarrow 4x^2-4x+1=5$ $x^2-x-1=0 \rightarrow x-1-\frac{1}{x} =0$ $x^2-x=1$ $x-\frac{1}{x}=1 \rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=3$ $x^3-\frac{1}{x^3}=(x-\frac{1}{x})(x^2+\frac{1}{x^2}+1)=4$ $(x^3-\frac{1}{x^3})(x^2+\frac{1}{x^2})=12$ $x^5-\frac{1}{x^5}+x-\frac{1}{x}=4$ $x^5-\frac{1}{x^5}=11$ $(x^5-\frac{1}{x^5})(x^2+\frac{1}{x^2})=33$ $x^7-\frac{1}{x^7}+x^3-\frac{1}{x^3}=33$ $x^7-\frac{1}{x^7}=29$ ตอบ D |
สมมุติว่ากระดาษวงกลมมีรัศมีเท่ากับ $r$ แบ่งเป็น $n$ ส่วน แต่ละส่วนมีพื้นที่เท่ากับ $\frac{\pi r^2}{n} $ ทรงกรวยมีรัศมีเท่ากับ $r'$ สูงตรงคือ $h$ และสูงเอียงคือ $l$ สูงเอียงของทรงกรวยเท่ากับรัศมีของวงกลมวงใหญ่ $l=r$ หารัศมีของกรวยจากเส้นรอบวง จะได้$r'=\frac{r}{n} $ ดังนั้นพื้นที่ผิวของทรงกรวยเท่ากับ $\pi r'l=\frac{\pi r^2}{n}$ $l=\frac{r^2}{nr'}=r $ $r=nr'$ และ $r'=\frac{r}{n} $ ความสัมพันธ์ของสูงตรงและสูงเอียง $l^2=h^2+r'^2$ $h^2=r^2-r'^2=r^2(1-\frac{1}{n^2} )$ $h=r\sqrt{1-\frac{1}{n^2}} $ ปริมาตรของทรงกรวยแต่ละอันคือ $\frac{1}{3}\pi r'^2h $ $=\frac{1}{3}\pi(\frac{r}{n} )^2(r\sqrt{1-\frac{1}{n^2}} )$ $=\frac{1}{3}\pi r^3\left(\,\frac{1}{n^2}\sqrt{1-\frac{1}{n^2}} \right) $ ปริมาตรทรงกรวยทั้งหมด $n$ อันเท่ากับ $\frac{1}{3}\pi r^3 \frac{1}{n}\left(\,\sqrt{1-\frac{1}{n^2}} \right)$ พิจารณาเฉพาะ $ \frac{1}{n}\left(\,\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}\right)$ $=\sqrt{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^4}}$ $=\sqrt{\frac{n^2-1}{n^4} } =\frac{\sqrt{n^2-1} }{n^2} $ ดังนั้น $n$ ยิ่งน้อย ค่าที่ได้ยิ่งมาก จากตัวเลือก จึงเลือกตัวเลือกที่มีค่า $n$ น้อยที่สุด คือ $2$ ไม่รู้ว่าคิดถูกไหม เดี๋ยวลองทวนวิธีทำอีกรอบ |
Attachment 13113
24.$2cos^2A+cosB=2(cos^2A+sin^2A)+cosB-2sin^2A=2+cosB-2cos^2B$ ค่าต่ำสุดคือ $c-\frac{b^2}{4a} =2+\frac{1^2}{8} =\frac{17}{8}$ |
ข้อ 14
l นั้นเป็นรัศมีของวงกลมใหญ่เพราะผ่านจุดศูนย์กลาง o ดังนั้น l/2 จะเป็นรัศมีของวงกลมเล็กที่ไม่ได้มีการแรงเงา พื้นที่ A+B เท่ากับผลต่างระหว่างพื้นที่วงใหญ่กับวงเล็กดังนี้ A + B = Pi x l^2 - pi x (l/2)^2 = 3/4*pi*l^2 เนื้อที่ A/B = 1/2 A = 1/3*3/4*pi*l^2 = 1/4*pi*l^2 B = 2/4*pi*l^2 = 1/2*pi*l^2 ถ้าลากแนวดิ่งลงมาผ่านจุดศูนย์กลางจะได้ครึ่งวงกลมรัศมี l จะได้ว่า พทครึ่งกลมใหญ่ - ครึ่งวงกลมเล็ก = A + พื้นที่จาก l ไปถึงแนวดิ่ง 1/2(pi*l^2 - pi*(l/2)^2) = 1/4*pi*l^2+x x = 1/8*pi*l^2 1/8 ของวงกลมครอบคลุม sector ที่มีมุมเท่ากับ 360/8 = 45 องศา ANS ตอบข้อ C ข้อ 17 ไม่น่าจะใช้ 2 น่าจะเท่ากับ 4 มากกว่า ข้อ C |
ข้อ12.ที่เป็นปัญหา
hint:1.หาจุดตัดของสมการวงกลมทั้งสอง 2.ทำให้ทราบมุมของsectorที่เกี่ยวข้องได้ 3.ทำให้หาพื้นที่Aได้ |
ข้อสอบคุณภาพ
|
ขอบคุณมากมายค่าาา ^^
|
อ้างอิง:
เพราะเรามอง AG = (AE^2+EG^2)^0.5 ซึ่งได้คำตอบ 12*(3)^0.5 เท่ากัน ขอบคุณค่ะ |
อ้างอิง:
ขอบคุณมากค่ะ :D |
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 16:40 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha