Functional
 

1.หาฟังชันก์ $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ โดยที่ $$f(xf(y))=f(x+y),\ \ \ \ \forall x,y \in \mathbf{R}$$
2.หาฟังชันก์ $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ โดยที่ $$f(x^2-y^2)=xf(x)-yf(y),\ \ \ \ \forall x,y \in \mathbf{R}$$
3.หาฟังชันก์ $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ โดยที่ $$f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y,\ \ \ \ \forall x,y \in \mathbf{R}$$

1. ตรงๆ $f(x)=c$
2. $xf(x)=f(x^2)$ แทนค่าตรงตาม form Cauchy

#2

ข้อ 2 ยังใช้ผลจากโคชีมาไม่ได้นะครับ

ถึงแม้เราจะรู้แล้วว่า $f(x^2-y^2)=f(x^2)-f(y^2)$

ก็ยัง imply ไม่ได้ว่า $f(x-y)=f(x)-f(y)$ ทุกจำนวนจริง แต่ได้เฉพาะจำนวนจริงบวก

ต้องพิสูจน์อีกเงื่อนไขหนึ่งคือ ฟังก์ชันคี่

สำหรับ $x \not= 0$ แทน $y=-x$ ลงไปก็จะได้ครับ

เราถึงจะสรุปได้ว่า $f(x)=cx$ ทุกจำนวนจริง $x$ สำหรับค่าคงที่ $c \in \mathbb{R}$ ใดๆ

ไหนๆก็ไหนๆแล้ว ใบ้ข้อสามเลยดีกว่า แต่คิดว่าน่าจะมีวิธีที่ดีกว่านี้ :sweat:

แทนค่าจนได้ว่า $f(0)=0$

จัดรูปจนได้ว่า $[f(x)]^2=x^2$

แล้วได้คำตอบเป็น $f(x)=x$ หรือ $f(x)=-x$ ทุกจำนนจริง $x$

แต่ดูให้ดีว่าลืมอะไรไปหรือเปล่าในการสรุปคำตอบข้างต้น ฝากเอาไปคิดดูเล่นๆ

Unsure Solution
3.find $f$ with$x,y\in\mathbb{R}$ such that $f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y$
put $y=y-f(x)^2$ get $f(xf(x)+f(y-f(x)))=y$
so $f$ is surjective func. Thus there exist $t$ such that $f(t)=0$
Let $x=t$ we have $f(f(x))=x$
then replace $x$ with $f(x)$ in given function we get $$f(xf(x)+f(y))=f(f(x)f(f(x))+f(y))=f(f(x))^2+y=x^2+y$$
So $x^2+y=f(x)^2+y\rightarrow f(x)=\pm x$

ลำพังจาก $(f(x))^2=x^2$ สรุปเลยไม่ได้ต้องทำต่ออีกนิดครับ
สมมติว่า มี $u,v$ ที่ทำให้ $f(u)=u$ และ $f(v)=-v$ แล้วพิสูจน์ขัดแย้ง

#5 เจ๋งครับ :great:

#6 มี $f(x)^2=x^2$ มันสรุปไม่ได้หรอครับว่า $f(x)= \pm x$

ผมยังไม่ค่อยเข้าใจน่ะครับ :please:

ขอบคุณครับ #6,#7
ปล. ข้อนี้ทำไงอ่ะครับ ผมว่ามันยากมากอ่ะ = ="

ยังครับต้องพิสูจน์ครับ

1.พิสูจน์ว่า $f$ เป็น non-decreasing
2.พิสูจน์ว่า $f(1)=1$
3.พยายามพิสูจน์ว่า $f(x)=\frac{1}{x}$ ทุก $x>0$ ใช้ข้อมูลมาสรุป contradiction

ผมทำมาถึงตรงข้อ 3 ครับ ยังไม่ได้คิดต่อ

#10 ผมได้ว่ามันเป็น decreasing อ่ะครับ เเล้วก็ $f(1)$ นี่หาเท่าไรก็ยังตันอยู่เลยครับ 555

ที่มันยังสรุปไม่ได้ เพราะอาจจะมีฟังก์ชั่นแปลกๆครับ
ที่มีบางช่วงที่ $f(x)=x$ และมีบางช่วงที่ $f(x)=-x$ ครับ :D

จงหาฟังก์ชัน $g:\mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ ซึ่ง
$$g(x+y)+g(x)g(y)=g(xy)+g(x)+g(y)$$

อันนี้สวยมากครับ 555
Find $f$ such that $f(f(x)+y)=f(x^2-y)+4yf(x)$ for $x,y\in\mathbb{R}$

แทนy ด้วย0
ต่อไปก้แทน yด้วย1
แทนxด้วยx+1 yด้วย1
พิจารณา แทน x,yด้วย 1 ที่เหลือน่าจะไปต่อได้

ลองแสดงคำตอบที่ f(x)=x ให้ดูหน่อยครับ

แหม สมัยนี้ใส่สมการใน mathematica ได้แล้ว ยังมีมาพิสูจน์หาข้อขัดแย้งกันอีกหรือครับ เอาไว้เขียนแสดงละก็อาจจะใช่เท่านั้น

คุณนี่มันไม่ได้เรียนรู้อะไรเลยนะ ผมไม่แปลกใจเลยที่ประเทศอื่นเขามีการศึกษาโดยรวมดีกว่า อย่างญี่ปุ่น การเขียนวิธีทำเป็นสิ่งสำคัญ มันจะมีก็แต่วิศวะที่เป็นกบในกะลาแบบคุณนี่แหละที่คิดว่ามันไม่สำคัญ เอะอะไรก็กดลงเครื่องคิดเลขอย่างเดียว ถ้าคุณมีดีแค่วิจารณ์หรือกดเครื่องคิดเลขอย่างเดียว ไม่ต้องมาคอมเม้นก็ได้ครับ คอมเม้นอื่นๆไม่โดนลบก็บุญมากแล้วนะครับ แต่คอมเม้นลักษณะเสียดสีแบบนี้ผมชักจะไม่สบอารมณ์ด้วยละ :)

ข้อ $g(x)$ ต้องพิสูจน์แบบขาดโดเมนออกไปก่อนครับ คือพิสูจน์ N ขยายไป I แล้วค่อยขยายไป Q พอจะพิสูจน์ใน R ค่อยใช้ contradiction ;)

ผมว่าเนื้อหาที่ตอบในกระทู้นี้เริ่มล้าสมัย อ้อ เคยใช้สอบโอลิมปิคระดับมหาลัยเมื่อสิบกว่าปีก่อน ที่วนเวียนอยู่กับตรรกศาสตร์ ที่ใช้สอนกันในเพียวแมท

ที่ผมกล่าวอาจจะไม่ใช่เรื่องใหม่ ที่ใช้ mathematica , Derive , mathcad สอนการแก้ปัญหาแบบนี้ ที่ผมเคยเห็นในหนังสือของ MAA ก็สอนในหนังสือแค่ ถึงแค่ plane Planar อาจจะเำพราะ อย่างที่เราเห็นในโฆษณาทีวีต้องจ้างบริษัทฝรั่งทำ ไทยเราเลยต้องวนอยู่กับการให้เหตุผลอยู่ร่ำไป ฝันไปเรื่อยๆ กับโปคเจคใหญ่

Keehlzver สาย Apply จะมองต่างจากคุณเพราะเค้าเน้น Simulation ด้วยคอมพิวเตอร์ ซึ่งผมก็ยังมองเห็นจุดอ่อนของสายประยุกต์ออกอีกอยู่ดี นอกจากงานของวิทยาศาสตร์สายบริสุทธิ์ อนาคตอาจจะมีเรื่องใหม่ๆ หรือว่าวิชาคณิตศาสตร์หรือวิทยาศาสตร์อื่นๆ ใกล้จะเป็นสิ่งที่เรียกว่า Classic

ท้ายนี้ ผมเสนอวิธีตรวจคำตอบ อาจจะสำหรับอาจารย์ที่จะใช้ตรวจข้อสอบ ด้วยคอมพิวเตอร์ แม้ว่ามหาลัยจะต้องซื้อเครื่องตรวจข้อสอบจากอเมริกาใช้ก็น่าจะู้รู้ไว้ นะครับ

อยากถามคำถามง่ายๆครับ


ถ้าคอมพิวเตอร์สามารถแก้ปัญหาได้หมด แล้ว ทำไมเราต้องเรียนคอมพิวเตอร์?

แล้วอะไรดีกว่ากันระหว่างเรียนเพื่อให้เราใช้มันในการแก้ปัญา กับเรียนเพื่อให้เราแก้ปัญหา?

แล้วถ้าเราเรียนเพื่อให้เราใช้มันแก้ปัญหา แล้วเกิดปัญหา เราก็จะเรียนเพื่อใช้มันแก้ปัญหาในการใช้มันในการแก้ปัญหา???


ปล.อยากฝากนิทานเรื่องหนึ่งเอาไว้ อยู่ๆก็นึกถึงเรื่องนี้ขึ้นมา :o

อย่าเลี้ยง troll กันให้มากเลยครับ เดี๋ยวเขาจะได้ใจ

คิดเสียว่าเขาไม่มีที่ไปอยากแชร์ความคิดของตัวเองให้คนอื่นฟัง

ส่วนใครจะฟังหรือไม่ก็เป็นความคิดเห็นส่วนบุคคล

ผมคนนึงล่ะที่เลิกฟังไปแล้ว ตอนนี้ได้แต่แหย่เล่นไปวันๆ ถ้าว่างอ่ะนะ