อ้างอิง:
=\frac{\tan 44^\circ+\tan1^\circ}{1-\tan44^\circ\tan1^\circ}$$ จะได้ $1=\tan46^\circ-\tan1^\circ-\tan46^\circ\tan1^\circ =\tan44^\circ+\tan1^\circ+\tan44^\circ\tan1^\circ$ ดังนั้น $2=\tan46^\circ+\tan44^\circ-\tan1^\circ(\tan46^\circ-\tan44^\circ)$ 47. (ขออนุญาตไม่แปล กลัวแปลผิด) Whenever $x$ is in domain of $\tan x$, $\sin^2x\le\tan^2x$. Is it true in these cases that for any positive integer $n$, $$\sin^2x+\sin^4x+\sin^6x+\cdots+\sin^{2n}x\le\tan^2x\ ?$$ |
ข้อ47นี่ทำไมดูง่ายผิดปกติอ่ะครับหรือว่าผมทำอะไรผิด :confused:
ปล. ผมพึ่งหัดใช้ LATEX ผิดพลาดประการใดขออภัยด้วยนะครับ :p $\because|\sin^2x|\le1$และ$\sin^2x\ge0$ $\sin^2x+\sin^4x+\ldots+\sin^{2n}x\le\sin^2x+\sin^4x+\ldots$ $\sin^2x+\sin^4x+\ldots+\sin^{2n}x\le\frac{\sin^2x}{1-\sin^2x}$ $\therefore\sin^2x+\sin^4x+\ldots+\sin^{2n}x\le\tan^2x$ |
ไม่ผิดหรอกครับ คุณ Timestopper_STG เพราะผมจงใจให้ข้อนี้มันง่ายเองแหละ ยังไงช่วยมาตั้งโจทย์ข้อต่อไปด้วยครับ
|
โจทย์ของผมอาจจะไม่ยากเท่าไรนะครับเพราะถ้ายากกว่านี้
เกรงว่าผมจะเฉลยไม่ไหวครับ :p โจทย์มีอยู่ว่า กำหนดให้ $\tan A$ และ $\tan B$ เป็นคำตอบของสมการ $x^2 + px + q = 0$ จงหาค่าของ $\sin^2(A+B)+p\sin(A+B)\cos(A+B)+q\cos^2(A+B)$ |
สำหรับข้อ 48 ของคุณ Timestopper_STG
เพราะ $ -p= \tan A+ \tan B =\frac{\sin(A+B)}{\cos A \cos B} $ และ $ q = (\tan A)(\tan B) =\frac{\sin A \sin B}{\cos A \cos B} $ แทนค่าลงไปในสิ่งที่โจทย์ถาม จะได้ $ \sin^2(A+B) -\frac{\sin^2(A+B) \cos(A+B)}{\cos A \cos B}+\frac{\sin A \sin B}{\cos A \cos B} \cos^2(A+B) $ $= \sin^2(A+B) -\frac{\sin^2(A+B) \cos(A+B)}{\cos A \cos B}+\frac{\sin A \sin B}{\cos A \cos B}(1- \sin^2(A+B)) $ $= \sin^2(A+B)(1 -\frac{\cos(A+B)}{\cos A \cos B}-\frac{\sin A \sin B}{\cos A \cos B})+\frac{\sin A \sin B}{\cos A \cos B}=\frac{\sin A \sin B}{\cos A \cos B}= \tan A \tan B=q $ ต่อด้วยข้อ 49 สามเหลี่ยม ABC มีมุม BAC กาง 55 องศา มุม ABC กาง 115 องศา P เป็นจุดภายในสามเหลี่ยมและอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งมุม C โดยมุม PAC มีขนาด 25 องศา หาขนาดมุม BPC Note: ผมไม่แน่ใจว่าข้อนี้ มีวิธีแบบเรขาคณิตหรือไม่ แต่เพื่อให้เข้ากับกระทู้นี้ ควรมีการใช้ตรีโกณมิติในคำตอบด้วยนะครับ |
เฉลยข้อ 49 (วาดรูปประกอบเองนะครับ)
ให้ $ \theta=P\widehat{B}C $ แน่นอนว่า $\frac{PA}{PB}\cdot \frac{PB}{PC}\cdot \frac{PC}{PA}=1 $ และจาก law of sine ทำให้เขียนสมการใหม่เป็น $$\frac{\sin(65^{\circ}+\theta)}{\sin30^{\circ}}\cdot \frac{\sin 5^{\circ}}{\sin \theta}\cdot \frac{\sin 25^{\circ}}{\sin 5^{\circ}}=1 $$ ซึ่งสมมูลกับ $ 2\sin 25^{\circ}\sin (65^{\circ}+\theta)= \sin \theta $ และสุดท้ายจะเหลือเพียง $ \cos (40^{\circ}+\theta)= 0 \Rightarrow \theta= 50 ^{\circ}$ ดังนั้นข้อนี้ตอบ 180-(50+5)= 125 องศา |
50. Evaluate
$$ \tan\bigg[\arcsin(\sin^4\frac{\pi}{8} - \cos^4\frac{\pi}{8})\bigg] $$ |
1.ให้qฮ(0,p) จงหาค่าของ 2sinq+2^2sin2q+2^3sin3q+...
2.กำหนด x^2+xy+y^2=9 y^2+yz+z^2=16 z^2+zx+x^2=25 find xy+yz+xz หมายเหตุ ข้อ 2. ใช้ตรีโกน 3.Ssin^4q โดยที่ q มีค่าตั้งแต่ 1 ถ฿ง 360 :tired: :tired: |
อ้างอิง:
คำตอบคือ $8\sqrt3$ ใช่รึเปล่า ปล.ถ้าอยากจะเล่นในกระทู้นี้ กรุณาเปลี่ยนหมายเลขข้อให้ต่อเนื่องด้วยครับ |
อ้างอิง:
$\displaystyle{\therefore\tan\bigg[\arcsin(\sin^4\frac{\pi}{8} - \cos^4\frac{\pi}{8})\bigg]=-1}$ |
พักนี้เห็นกระทู้สไตล์โอลิมปิกเยอะมากเพราะใกล้เทศกาล งั้นผมขอสวนกระแส ลองคำถามกึ่งๆ ม.ปลาย ดูบ้างนะครับ
51. ให้ A เป็นจุดบนวงรี และ B, C แทนโฟกัสของวงรี พิสูจน์ว่า พื้นที่สามเหลี่ยม ABC แปรผันตาม $ \tan(\frac{A}{2})$ |
จากกฎของ sine - cosine
พท. $ABC = {\frac{1}{2} {bc sinA}}$.............................1 และ $a^2 = b^2 + c^2 - 2bccosA$ ..............................2 แทนค่า bc ในสมการที่ 1 จะได้ พท. $ABC = {\frac{1}{4} {\frac{sinA}{cosA} } (b^2 + c^2 - a^2)}$.........3 พิจารณาสมการวงรี ที่มีจุดศูนย์กลางที่ (0,0) (เดี๋ยวยาว) $1 = {\frac{x^2}{m^2} }+{\frac{y^2}{n^2}}$ $\because b + c = 2m$ และ $a^2 = 4(m^2 - n^2)$ จะได้ ${b^2 + c^2 - a^2} = 4{n^2} - 2bc$ นำไปแทนในสมการที่ 3 แล้วจัดรูปใหม่จะได้ พท. $ABC = {\frac{sinA}{1 + cosA} }{n^2} = tan (\frac{A}{2} ){n^2}$ เมื่อ $m,n$ เป็นค่าคงที่ |
โห! เร็วทันใจจริงๆ :great:
ถูกแล้วล่ะครับ แต่แก้ไขตรงสมการวงรีนิดนึงก็ดีนะครับ เพราะตกกำลังสองไป |
ขอบคุณคุณ passer-by มากครับ
|
เพิ่งเปิดมาอ่านกระทู้นี้ เห็นแต่ละโจทย์แล้วน่าทึ่งครับ แต่ผมก็ยังอ่านดูไม่หมดทุกข้อ (เหนื่อยตาเหลือเกิน)
ขอร่วมสนุกโพสต์โจทย์ไว้ซักข้อ อธิฐานว่าอย่าให้ซ้ำกับข้อเก่าๆ ไม่งั้นกร่อยเลย :) 52. จงแยกตัวประกอบของ $z^{2n} + 2a^n z^n\cos u + a^{2n}$ คำตอบที่ต้องการเป็นหลายวงเล็บคูณกัน ไม่ใช่แทนค่าในสูตร Quadratic นะครับ ... ไม่มีติด Sqaure root ! |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 11:51 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha