เมทริกซ์ในข้อต่อไปนี้หมายถึงเมทริกซ์ของจำนวนจริง

75. ทุกเมทริกซ์จัตุรัสสามารถเขียนเป็นผลบวกของเมทริกซ์เอกฐานและเมทริกซ์ไม่เอกฐาน

76. ทุกเมทริกซ์จัตุรัสสามารถเขียนเป็นผลบวกของเมทริกซ์เอกฐานและเมทริกซ์เอกฐาน

77. ทุกเมทริกซ์จัตุรัสสามารถเขียนเป็นผลบวกของเมทริกซ์ไม่เอกฐานและเมทริกซ์ไม่เอกฐาน

เป็นการพิสูจน์ที่น่าสนใจและแปลกดีครับ :great: ปกติคำถามนี้เรามักตอบโดยใช้ Cantor's diagonal argument ซึ่งเคยเล่นกันไปแล้วที่นี่ครับ

เป็นการพิสูจน์ที่แปลกและสวยดีครับ แต่ต้องรู้จัก Measure กันซักหน่อย ส่วนผมก็เคยเห็นแต่ diagonal argument ตามที่พี่ warut ว่าแหละครับ
กว่าจะเข้าใจวิธีคิดได้นานมาก เลยลองเอามาโพส ซักหน่อย แล้วก็ได้วิธี proof ใหม่ เลย :D

78.
$$(-1)^{2\pi}=\big((-1)^2\big)^\pi=1$$

เท็จครับ exponential function $f(x) = a^x$ จะนิยามบนเซตของจำนวนจริงได้ก็ต่อเมื่อ $a>0$
ในอีกทางนึง power function $g(x)=x^{\alpha}$ จะนิยามบนช่วงเปิด $(0,\infty)$ เท่านั้นถ้า $\alpha$ ไม่เป็นจำนวนตรรกยะ
ซึ่งทั้งสองกรณีใช้ไม่ได้กับสถานการณ์นี้ครับ
ถ้าอยากให้สัญลักษณ์ $(-1)^{2\pi}$ มีความหมายเราต้องให้โดเมนเป็นจำนวนเชิงซ้อน
ซึ่งเราจะได้ว่า $(-1)^{2\pi} = (e^{\pi i})^{2\pi} = e^{2\pi^2 i} \neq 1$

64. เท็จ $\frac{\sqrt{2}}{2} < 1 \Rightarrow 2^{\frac{\sqrt{2}}{2}}< 2^1$

65. เท็จ มีได้ไม่เกินหนึ่งคำตอบเพราะ $\sqrt{z}$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งบนโดเมนของแต่ละ branch เช่น

1. ถ้าใช้ principal branch จะไม่มีคำตอบ เพราะ principal branch จะส่งโดเมน $\mathbb{C}-(-\infty,0]$ ไปยังโดเมน $\{z : Re(z) > 0\}$

2. ถ้าใช้ branch ซึ่งมีโดเมนคือ $\mathbb{C} - [0,\infty)$ จะมี $ -2550^2$ เป็นคำตอบเพียงคำตอบเดียว :)

เนื่องจากตอนที่คุณ nongtum ทำข้อ 35. ได้บอกไว้แล้วว่า

ถ้าให้ $x=\displaystyle{\sqrt {2\sqrt {3\sqrt {4\sqrt {...} } } }}$ จะได้ $\displaystyle{ \ln x= \ln\prod_{n=2}^{\infty} n^{1/2^{n-1}}= \sum_{n=2}^{\infty}\frac{\ln n}{2^{n-1}}} $

[ทำไมตรงนี้ผมไม่สามารถ quote ข้อความของคุณ nongtum ได้ล่ะครับ เป็น bug ของบอร์ดหรือเปล่า :confused: ]

ดังนั้นเราจึงต้องการแสดงว่า $$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\ln n}{2^{n-1}}>1$$ ซึ่งผมยังไม่สามารถทำโดยไม่ใช้เครื่องคิดเลขได้เลยครับ :(

79. หาก $F:[0,\infty)\mapsto[0,\infty)$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่สอดคล้องกับ $$F(x)=F(ax)+F(bx),\quad\forall x\in(0,\infty)$$ สำหรับจำนวนจริงบวก $a,b$ ที่ $a+b<1$ จริงหรือไม่ที่ $$F(x)=0,\quad\forall x\in(0,\infty)$$
Hint: โปรดชำเลืองดูกระทู้มาราธอนเพื่อนบ้าน

$80.\displaystyle{\frac{1}{1+\displaystyle{\frac{1}{3+\displaystyle{\frac{1}{5+\cdots}}}}}=\frac{\pi}{4}}$

ยังคิดไม่ออกครับ แต่มาเพิ่มโจทย์ อิอิ
81. ให้ $x_n$ เป็นลำดับของจำนวนจริง จะได้ว่า $x_n \rightarrow x \Leftrightarrow \mid x_n - x\mid \rightarrow 0 $

82. มีจำนวนจริง $a$ ที่ทำให้$$a^a=\frac14$$

คุณ Mastermander ช่วยเฉลยข้อ 52. หน่อยสิครับ :please:

น่าจะเป็น bug ครับ เอาไว้วันหลังว่างๆผมจะแก้ไขให้ครับ :rolleyes:
รวมทั้งเรื่องที่หัวข้อหนึ่งยาวถึง 10 หน้าแล้วมันไม่แสดงด้วย (เป็นหัวข้อแรกที่ยาวถึง 10 หน้าเลยนะครับ :laugh: )

$\frac4\pi=[1; 3, 1, 1, 1, 15, 2, 20, 1, ...]$ ดังนั้น $\frac{\pi}4=[0;1, 3, 1, 1, 1, 15, 2, 20, 1, ...]\ne[0;1,3,5,7,...]$
(คำนวณโดยค่าประมาณ 4000000/3141592 โดย web applet ในเวบไซต์นี้)

ปกติแล้ว เราไม่ทราบแบบแผนของ simple continued fraction ของ $\pi$ แต่ก็มีข้อยกเว้นสำหรับบางค่า เช่น $$\frac4\pi=1+\frac{1^2|}{|3}+\frac{2^2|}{|5}+\frac{3^2|}{|7}+\frac{4^2|}{|9}+\cdots
=1+\frac{1^2|}{|2}+\frac{3^2|}{|2}+\frac{5^2|}{|2}+\frac{7^2|}{|2}+\cdots$$ หรือ $$\frac{e^2+1}{e^2-1}=[1;3,5,7,9,...]$$ เป็นต้น

อ้างอิงจากเวบไซต์นี้ครับ

72. ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บนช่วง $\; [a,b] \;$ จะได้ว่า $\mid f \mid$ เป็นฟังก์ชันหาปริพันธ์รีมันน์ได้บนช่วง $\; [a,b]\; $ ด้วย
ดังนั้น \[ -\mid f(x) \mid \leq f(x) \leq \mid f(x) \mid,\; \; \forall x \in [a,b]\]
จะได้ว่า \[ -\int_a^b \mid f(x) \mid dx \leq \int_a^bf(x) dx \leq \int_a^b \mid f(x) \mid dx \]
ดังนั้น \[ \mid \int_a^b f(x) dx \mid \leq \int_a^b \mid f(x) \mid dx\]

83. Let $I \subset \mathbb{R}$ be an interval and let $f : I \rightarrow \mathbb{R} $ be strictly monotone and continuous on $I$. Then $f$ is the injective fuction on $I.$ Moreover inverse of $f$ is a strictly monotone and continuous on interval $f(I).$