|
29. จัดรูปได้
$n+\dfrac{1}{n}=\dfrac{2m}{m-n}=2+\dfrac{2n}{m-n}$ จัดต่ออีกนิด $m-n=\dfrac{2n^2}{(n-1)^2}=2+\dfrac{4n-2}{(n-1)^2}$ $\dfrac{4n-2}{(n-1)^2}$ เป็นจำนวนเต็ม $(n-1)^2 \le 4n-2$ $n^2-6n+3 \le 0$ If $n \ge 6; n^2-6n+3 = n(n-6)+3 \ge 3$ $n \le 5$ If $n=5, 16 \nmid 18$ If $n=4, 9 \nmid 14$ If $n=3, 4 \nmid 10$ If $n=2, m=10$ จริงๆก็ได้คู่อันดับ $(2,10)$ เป็นคำตอบเดียว |
ข้อ 17 ให้ $n \in \mathbb{N}$ พิจารณา $\displaystyle{\int_{n}^{n+1}f(x)\,dx =\int_{n}^{n+\frac{1}{2}}f(x)\,dx+\int_{n+\frac{1}{2}}^{n+1}f(x)\,dx=\int_{n}^{n+\frac{1}{2}}x-n\,dx+\int_{n+\frac{1}{2}}^{n+1}1-x+n\,dx}$
หลังจากคำนวณแล้ว จะได้ว่า $\displaystyle{\int_{n}^{n+1}f(x)\,dx =\frac{1}{4}}$ ทุก $n \in \mathbb{N}$ เราจะได้ว่า $\displaystyle{\int_{-2015}^{2015}f(x+2558)\,dx=\int_{543}^{4573}f(x)\,dx=\sum_{n = 543}^{4572} \int_{n}^{n+1}f(x)\,dx =\frac{4572-543+1}{4}=1007.5}$ |
13. อีกวิธีครับ
แปลงโจทย์เป็น สุ่มจำนวนจริง $x,y,z \in (0,1)$ ซึ่ง $x+y+z=1$ จงหาความน่าจะเป็นที่ $x+y \ge z, y+z \ge x, z+x \ge y$ นั่นคือหาความน่าจะเป็นที่ $x,y,z \le \frac{1}{2}$ $P(x,y,z \le \frac{1}{2}) = 1-P(x \ge \frac{1}{2})-P(y \ge \frac{1}{2})-P(z \ge \frac{1}{2})$ (เหตุการณ์ทั้งสาม disjoint) สำหรับวิธีการคำนวณ $P(x \ge \frac{1}{2})$ มองกลับเป็นการแบ่งไม้เป็น 3 ท่อน ถ้าจะให้แบ่งแล้ว $x \ge \frac{1}{2}$ จุดแบ่งทั้งสองจุดต้องอยู่ในครึ่งหลังของท่อนไม้ เนื่องจากจุดแบ่งทั้งสองสามารถคิดเป็นอิสระต่อกัน (แบ่งครั้งแรกไม่ส่งผลต่อการแบ่งครั้งที่สอง) $P(x \ge \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$ แต่ $P(x \ge \frac{1}{2})=P(y \ge \frac{1}{2})=P(z \ge \frac{1}{2})$ by symmetry $P(x,y,z \le \frac{1}{2})=1-3(\frac{1}{4})=\frac{1}{4}$ จริงๆสามารถสร้าง bijection ระหว่างกรณีทั้ง 4 ได้ $(a+\frac{1}{2},b,c) \leftrightarrow (a,b+\frac{1}{2},c) \leftrightarrow (a,b,c+\frac{1}{2}) \leftrightarrow (\frac{1}{2}-a,\frac{1}{2}-b,\frac{1}{2}-c)$ when $a+b+c=\frac{1}{2}, a,b,c >0$ แต่เสียดายที่เซตอนันต์ไม่สามารถใช้ bijection แบบตรงๆแบบนี้ได้ มิฉะนั้นเราก็สามารถ bijection กับกรณีทั้งหมดได้ด้วย $(2a,2b,2c)$ อาจจะไปทำอะไรสักอย่างต่อได้ครับ :eek: |
อ้างอิง:
|
ข้อ 31 $\frac{1}{128}$ ครับ คล้ายๆ TMO ปีล่าสุดเลย (ไม่ได้สอบแล้ว)(สมาคมก็ไม่ได้สอบ555)
|
อ้างอิง:
|
ข้อ31 n(S) = 2^16 , n(E) = 2^9 , P(E) = 1/128
|
ข้อ 2 คะแนนบางข้อก็ไม่น่าเป็นข้อ 2 คะแนนเลย
อย่างข้อนี้ครับ 9. $x+ay+z=3 \qquad (1)$ $2x+y+bz=1 \qquad (2)$ $3x+y+3z=2 \qquad (3)$ ผู้ที่ไม่ระวังจะถูกหลอกว่าเป็น matrix ได้ง่ายๆ Solution $3(1)-(3); \qquad (3a-1)y=7$ ได้ $y=-7, a=0$ หรือ $y=-1, a=-2$ แต่โจทย์กำหนดว่า $a \neq 0$ ดังนั้น $y=-1, a=-2$ แทนกลับไปจะได้ $x+z=1, b=2$ $x+2y+z+3ab=-7$ |
ข้อ 27. จากโจทย์จะได้ว่า $\displaystyle{S_k=\sum_{r = 1}^{k}\frac{1}{r(r+1)(r+2)} }=\frac{1}{2}\sum_{r = 1}^{k}\left(\,\frac{1}{r(r+1)}-\frac{1}{(r+1)(r+2)}\right) =\frac{1}{4}-\frac{1}{2(k+1)(k+2)}$
นั่นคือ $\displaystyle{\left|\,S_k-0.25\right|= \frac{1}{2(k+1)(k+2)}}<0.0001$ ทำให้ได้ว่า $(k+1)(k+2)>5000$ แก้อสมการออกมาจะได้ว่า $k$ ที่น้อยที่สุดที่เป็นจำนวนเต็มบวกคือ $k=70$ |
14. มี $(x,y)$ กี่คู่ซึ่ง $-|y|+x-\sqrt{x^2+y^2-1} \ge 1$
แยก 2 กรณี 1) $x >1$ $-|y|+x-\sqrt{x^2+y^2-1} \le x+\sqrt{x^2-1} = \dfrac{1}{x+\sqrt{x^2-1}} < 1$ 2) $x \le 1$ $-|y|+x-\sqrt{x^2+y^2-1} \le x \le 1$ อสมการเป็นจริงเมื่อ $x=1, y=0$ ดังนั้นมี 1 คำตอบ |
ข้อ 10 ตอบ $\frac{1}{4+1} \binom{8}{4}=14$ แต่ดูเหมือนคนออกข้อสอบคงอยากจะให้แยกกรณีถึกๆเอา
|
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 12:33 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha