แหม สังเกตว่ากระทู้นี้เงียบๆ ประกอบกับมีปัญหา ODE ข้องใจพอดี มาสานกระทู้นี้ต่อละกันครับ
ข้อ 6. \[ \frac{1}{(1+\frac{y^2}{x^2})}\frac{xdy+ydx}{x^2} = d\left(\arctan(\frac{y}{x})\right) = dx \]
อินทิเกรตสองข้าง แล้วจัด $y$ ในรูปของ $x$ เป็นคำตอบคือ \[ y = x\tan (x+c)\]

7. Solve \[ y' + y^2 = \tanh x\]
note: ผมลองทำไปทำมา พบว่ามันหาคำตอบไม่ได้ แต่ไม่แน่ใจครับ เลยเอามาให้ลองคิดกันดู

คำว่า "มันหาคำตอบไม่ได้" ในที่นี้คุณ M@gpie หมายความว่า หาออกมาในรูปง่ายๆไม่ได้ หรือไม่มีคำตอบเลยครับ

ก็หาไม่ได้เลยครับ คือ ไม่มีคำตอบ แต่ผมพบแล้วว่าข้อสรุปของผมผิดก็ ช่วยกันหาคำตอบได้เลยครับผม

เอ๊ะ... คุณ M@gpie แอบมาแก้ไขข้อความเสียตั้งแต่เมื่อไหร่ บังเอิญนะเนี่ยผมเข้ามาเอาโจทย์ ถึงได้เห็นการเปลี่ยนแปลง

สมการในข้อ 7. เป็น Riccati equation ซึ่งโดยทั่วไปแล้ว จะหาคำตอบออกมาในรูปง่ายๆไม่ได้ ในกรณีของข้อนี้ ผมเดาว่าคงหาไม่ได้เช่นกันครับ

ถ้ารู้ initial condition เราน่าจะหาคำตอบโดยใช้ power series ได้ โดยให้ $$ y= \sum_{n=0}^\infty a_n x^n $$ แล้วแทนค่าในสมการ $$ \cosh x (y'+y^2) -\sinh x =0 $$ กระจาย $\cosh x$ และ $\sinh x$ ด้วย Taylor series (เราไม่กระจายจาก $\tanh x$ โดยตรงเพราะกระจายยาก และมี finite radius of convergence) แล้วจึงค่อยแก้สมการหา $a_n$ ซึ่งทั้งหมดนี้เป็นงานหนักมาก คงต้องทำด้วยคอมพิวเตอร์ ถ้าได้ $a_n$ มาหลายๆตัว อาจโชคดีมองเห็น รูปแบบทั่วไปของมันก็เป็นได้ครับ (ถึงไม่รู้ initial condition ก็ทำอย่างนี้ได้ แต่ $a_n$ มันจะติดตัวแปรเละเลยครับ)

ผมใช้พวก Maple หรือ Mathematica ไม่เป็น ถ้าใครใช้เป็นจะลองทำแบบง่ายๆดูก่อน โดยให้ $y(0)=y'(0)=0$ ก็ได้ครับ

ป.ล. ผมมีความรู้เกี่ยวกับ differential equation น้อยมากๆ แต่ที่เข้ามาตอบเพราะ เห็นไม่มีใครตอบ และไม่เห็นด้วยกับคำตอบในตอนแรกของคุณ M@gpie ก็แค่นั้นแหละครับ

ระดับคุณ warut ก็ไม่เรียกว่าความรู้น้อยหรอกครับ คนเราต้องมีการแลกเปลี่ยนความคิดเห็นกันน่ะครับอย่าถือว่าใครความรู้น้อยความรู้เยอะเลยอย่างผมก็ยังต้องฝึกอีกมากเหมือนกันทีเดียว อยากรู้เรื่อง Abstract algebra กับ Topology แต่ยังไม่มีโอกาสศึกษาเลยครับ ติดนั่นติดนี่อยู่เรื่อย กะว่าปีหน้าจะไปขโมยเรียนกับคณะวิทยาฯ ซักหน่อย ก็ขอขอบคุณสำหรับคำแนะนำครับ

พอดีปัญหานี้ เพื่อนผมไปเจอในโปรเจค เป็นปัญหาจากอะไรก็ไม่ทราบครับเค้าไม่ได้บอก แต่ได้สมการนี้มา ซึ่งก็ งง ทีเดียว ตอนแรกว่าจะหา analytical solution แต่เพราะแก้ไม่ออก ตอนนี้เค้าก็ใช้ Numerical method ไปเรียบร้อยแล้วล่ะครับ

ปล. ขอโทษที่ตอบช้า ครับ พอดีกระทู้มันตกไปเลยไม่เห็น

ผมขออนุญาตตั้งโจทย์มั่งนะครับพอดีไปยืมหนังสือมาจากห้องสมุดครับ :D
8)จงหาคำตอบของปัญหาเงื่อนไขค่าเริ่มต้น
$(1+x^4)dy+x(1+4y^2)dx = 0,y(1)=0$
9)จงหาคำตอบของสมการ
$\displaystyle{\sec y\frac{dy}{dx}+\sin (x-y)=\sin (x+y)}$

ตั้งใจเลือกมาอย่างยากสุดๆเลยใช่มั้ยครับเนี่ย :laugh:

ตอนแรกว่าจะหา general solution แต่ไม่ไหวครับ อัด I.C. ลงไปเลยดีกว่า จะได้ง่ายขึ้น หลังจากคิดเลขอย่างหนักแล้วจะพบว่า $$y=\frac12 \left( \frac{1-x^2}{1+x^2} \right)$$ อยากรู้เหมือนกันว่า Maple/Mathematica แก้สมการข้อนี้ได้รึเปล่า แล้วคุณ Timestopper_STG มีอะไรจะแนะนำในการทำโจทย์ข้อนี้มั้ยครับ

Edit: ได้ general solution แล้วครับ :) $$y=\frac12 \left( \frac{c-x^2}{1+cx^2} \right)$$

ผมลองแทนคำตอบของคุณ M@gpie กลับลงไปในสมการของคุณ nooonuii แล้วมันใช้ไม่ได้นะครับ น่าจะผิดเพราะ จริงๆแล้ว $$d\left( \tan^{-1}(\frac yx) \right) = \frac{xdy-ydx}{x^2+y^2} $$ ถ้าข้อนี้ผิดจริง ผมก็น่าจะเป็นคนแรกที่อ่านคำตอบของคุณ M@gpie อย่างจริงจังสินะครับ :p

ข้อนี้ง่ายหน่อยครับ แค่ใช้ความจริงที่ว่า $$\sin(x+y)-\sin(x-y)=2\sin y\cos x$$ มาแปลงสมการให้เป็น separable ODE แล้วก็จะแก้ออกมาได้ $$\tan y=Ce^{2\sin x}$$

อืม จริงด้วยครับ ผมก็รีบ นึกว่าใช่ แหะๆๆๆ ติดไว้ก่อนเดี๋ยวมาแก้ตัวครับ

ตกลงโจทย์ข้อ 6. นี่คุณ nooonuii ตั้งใจให้มันเป็นอย่างนั้นจริงๆเหรอครับ ผมไม่แน่ใจเพราะคุณ nooonuii ไม่ได้คัดค้านคำตอบของคุณ M@gpie :confused:

ถ้าโจทย์เป็นตามที่ว่ามาจริงๆ ผมว่าข้อนี้น่าจะเป็นโจทย์ ODE ที่ยากที่สุดที่เคยมีคนโพสต์มาเลยนะครับ :eek:

โอ๊ะโอ ขออภัยครับ ตอนแรกก็คิดว่าถูกแล้วแต่พอกลับไปเช็คที่โจทย์ถึงได้รู้ว่าพิมพ์ผิดครับ สงสัยตอนนั้นเมาไวน์ :kiki: ผมแก้ให้แล้วครับ แต่ถ้าเป็นอย่างแบบเดิมคุณ Warut แก้ได้รึเปล่าครับ ผมลองทำดูแล้วดูเหมือนจะไม่ออกครับ :laugh:

อ่า ผมก็ทำไปด้วยความเคยชิน 555 ลองทำแบบบวกดูแล้ว ยากมากเลยครับ

ขอบคุณมากครับ

ถ้าเป็นโจทย์ข้อ 6. อันเก่า จะมีคำตอบคือ $$y=1+x\left(\frac{\sin x-c\cos x}{\cos x+c\sin x}\right)$$ วิธีทำคร่าวๆแบบของผมคือ ให้ $$y=-\frac{xu'}{u}$$ แทนค่าลงในสมการโจทย์ แล้วเราจะได้ว่า $$xu''+2u'+xu=0$$ แทนค่า $$u=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$$ แล้วแก้สมการหาคำตอบมาอันนึง ซึ่งอันที่ง่ายที่สุดคือ $$u=\frac{\sin x}{x}$$ แทนค่ากลับไป เราจะได้ $$y=1-x\cot x$$ เป็นคำตอบอันหนึ่ง หา general solution โดยให้ $$y=1-x\cot x+\frac1z$$ แทนค่ากลับลงไปในสมการโจทย์ แล้วเราจะพบว่า $$xz'+(1-2x\cot x)z+1=0$$ ซึ่งมีคำตอบคือ $$z=\frac{\sin x}{x}(\cos x+c\sin x)$$ แทนค่ากลับลงไปจะได้คำตอบดังที่ผมให้ไว้ข้างต้น ใครอยากรู้ว่ามึนแค่ไหน ก็ลองทำตามขั้นตอนที่ผมบอกดูนะครับ :wacko:

ให้สังเกตนิดนึงว่าคำตอบ $y=1-x\cot x$ มาจากกรณีที่ $c\to\infty$ ครับ

ยากน่าดูชมเลยครับ ผมลืมวิชานี้ไปหมดแล้วด้วย เลยไม่รู้จะแก้ยังไงดี แต่ยังไงคำตอบก็สวยดีครับ :laugh: