รูปสามเหลี่ยม ABC มีเส้นมัธยฐานยาว 12,13,15 ตามลำดับจงหาความยาวด้านที่สั้นที่จุด

ให้ BC, CA, และ AB ยาวด้านละ 2a 2b 2c ตามลำดับ

ให้ O เป็นจุด centroid ซึ่งจะแบ่งเส้นสัธยฐานเป็นอัตราส่วน 2 ต่อ 1

จะได้ AO = 8, OD = 4

CO = 10, OQ =5

และ $BO = \frac{26}{3}, \ \ OP = \frac{13}{3}$


Attachment 2043

โดยกฏของ cosine จะได้

สามเหลี่ยม DOC ---> $a^2 = 4^2 + 10^2 - 2(4)(10)cosdoc$ ...(1)

สามเหลี่ยม QOA ---> $c^2 = 5^2 + 8^2 - 2(5)(8) cosqoa$ ...(2)

(1) - (2) $ \ \ \ \ a^2 - c ^2 = 116 - 89 = 27 $ (มุม DOC = มุมQOA ... มุมตรงข้าม) ....(3)

ทำนองเดียวกันจะได้

$\bigtriangleup QBO $กับ $\bigtriangleup POC$ จะได้

$b^2 - c^2 = 75 -(\frac{13^2}{3})$ ......(4)

และ

$\bigtriangleup AQO $กับ $\bigtriangleup DOC$ จะได้

$b^2 - a^2 = 48 -(\frac{13^2}{3})$ ......(5)

ถึงตรงนี้ ก็ไปต่อไม่ถูกแล้วครับ :D

(รู้แต่ c สั้นที่สุด)

ผมลองใช้ Heron's ดูครับแต่สมาการมันเยอะมากอะครับ
มันจะหาได้ทุกค้านครับ
จากฐานเดียวกันความสูงท่ากันและแต่ละด้านแตกต่างกันจับมาเท่ากัน
จะได้ทุกด้านเลยครับ



ปล.มันยาวมากๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆ
ถ้ามีวิธีที่ง่ายก็ช่วยโพสท์หน่อยนะครับ

ผมลองใช้ Pythagorus หา ได้เท่ากับ $\frac{2\sqrt{401}}{3}$ หน่วย ถูกรึเปล่าครับ

ผมคิดได้ $\frac{\sqrt{347} }{2}$:sweat::sweat:

ข้อนี้ี่ถ้าใช้ทบ.ที่ 56 ของยูคลิดในหน้านี้ (#159)จะคำนวณได้ง่ายครับ

ผมไปคิดดูแล้วได้ $\sqrt{\frac{1604}{9} }$ ครับ

ทำไมไม่ตรงกับใครเลยอ่า:sweat:??

ขอบคุณครับ ได้แล้วครับ

ด้านที่สั้นที่สุด มีความยาว $\frac{2}{3}\sqrt{401} $ หน่วย

กรรม ผมคิดผิดอีกแล้ว T_T

ก้อ $\sqrt{\frac{1604}{9} } = \frac{2\sqrt{401} }{3}$ ไม่ใช่เหรอครับ :D

อ่าครับ...
อ่อ ตอนแรกผมคูณผิดเลยมาแก้แล้วครับ
ต้องขอบคุณ คุณnogtumด้วยครับที่ให้วิธีดีๆๆครับ
ผมนึกไม่ถึงเลย

ขอขุดหน่อยนะครับ
ก่อนที่จะหายไป

เอาโจทย์มาฝากนะครับ
ให้ a,b,c เป็นจำนวนฉะเพาะบวก โดยที่ $20<c<40$
ซึ่งสอดคล้องกับสมการ $a^2+b^2+c^2+2ab = 2c(a+b)$
จงหาค่าของ $a^2+b^2-c^2$

ได้ -116 หรือป่าวครับ

ก่อนอื่น ต้องเขียนว่า เฉพาะ นะครับ

เหอๆ คิดได้แค่ว่า $(a+b-c)^2=0$
แล้วก็ $a^2+b^2-c^2=2(ac-ab+bc)$

ใช่แล้วครับ เชิญตั้งโจทย์ต่อเลยครับ



ส่วนวิธี
จะได้ a+b=c
แล้วทุกตัวเป็นจำนวนเฉพาะ จะได้ว่า a หรือ b ต้องเป็น จำนวนคู่ตัวใดตัวหนึ่ง
เพื่อที่ทำให้ c เป็นจำนวนคี่