ข้อสอบทุนคิง (ทุนก.พ.) ปี 2559

[gtrping]

กำหนดให้ f(x) = x^2 - ax + 2a
ถ้ารากคำตอบของสมการ f(x) = 0 ทั้งหมดเป็นจำนวนเต็ม
แล้วจงหาค่าของ a ทั้งหมดที่เป็นไปได้ (6 คะแนน)

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gtrping

กำหนดให้ f(x) = x^2 - ax + 2a
ถ้ารากคำตอบของสมการ f(x) = 0 ทั้งหมดเป็นจำนวนเต็ม
แล้วจงหาค่าของ a ทั้งหมดที่เป็นไปได้ (6 คะแนน)

ผมได้ a=-1,0,8,9

[Pitchayut]

ให้รากเป็น $r, s$ จาก Vieta จะได้ $r+s=a, rs=2a\implies rs-2(r+s)=0\implies (r-2)(s-2)=4$.

WLOG ให้ $r\le s$ แยกเคส จะได้

Case 1 : $r-2=-4, s-2=-1$ จะได้ $(r,s)=(-2,1)\implies a=-1$

Case 2 : $r-2=-2, s-2=-2$ จะได้ $(r,s)=(0,0)\implies a=0$

Case 3 : $r-2=1, s-2=4$ จะได้ $(r,s)=(3,6)\implies a=9$

Case 4 : $r-2 =2, s-2=2$ จะได้ $(r,s)=(4,4)\implies a=8$

ดังนั้น $a=-1,0,8,9$ เป็นค่า $a$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้