อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~
ขุดหน่อยครับ มาเป็น FE กันบ้างดีกว่า 
จงหาฟังก์ชัน $f : \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R} $ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
$$f(x+y)=f(x)f(y)-f(xy)+1$$ สำหรับทุก $x,y\in \mathbb{R}$ |
โจทย์ผิดนิดนึงนะครับตรงที่ $x,y \in \mathbb{Q}$
ข้อนี้ไม่ยากมากครับ เพียงแต่คนส่วนใหญ่มองข้ามสิ่งพื้นฐานบางอย่างไป
แทน $x=y=0$ พบว่า $f(0)=1$
แทน $y=1$ ได้สมการ $f(x+1)=(c-1)f(x)+1$ เมื่อ $c=f(1)$
กรณี 1 : $c=1$
ได้ $f \equiv 1$ เป็นคำตอบ
กรณี 2 : $c \not= 1$
จากสมการ $f(x+1)=(c-1)f(x)+1$
โดยการ induction จะได้ว่า $f(x+y)=(c-1)^yf(x)+(y-1)(c-1)+1$ สำหรับจำนวนตรรกยะ $x$ และ
จำนวนเต็ม $y$
ถ้ากำหนดว่า $x$ เป็นจำนวนเต็มด้วย ก็สามารถสลับ $x,y$ ในสมการข้างต้นได้
ให้ $k=c-1$ ดังนั้น $$k^yf(x)+k(y-1)+1=k^xf(y)+k(x-1)+1$$
แต่ในกรณีนี้กำหนดไว้แล้วว่า $k \not= 0$
ดังนั้น $$f(x)+\dfrac{y-1}{k^{y-1}}=f(y)+\dfrac{x-1}{k^{x-1}}$$
ทำให้ $$f(x)=h+\dfrac{x-1}{k^{x-1}}$$
สำหรับบางจำนวนจริง $h$ และเป็นจริงทุกจำนวนเต็ม $x$
แทน $x=0$ ได้ $h=k+1$
นอกจากนี้เมื่อแทนสมการที่ได้ลงในสมการแรก แล้วแทนด้วย $x=y=1$ จะได้ $k^3=1$
ดังนั้น $k=1$ ทำให้ $f(x+1)=f(x)+1$
โดยการ induction ได้ว่า $f(x+y)=f(x)+y$ สำหรับจำนวนตรรกยะ $x$ และจำนวนเต็ม $y$
ถ้ากำหนดว่า $x$ เป็นจำนวนเต็มด้วย ก็สามารถสลับ $x,y$ ในสมการข้างต้นได้
ดังนั้น $f(x)=x+t$ สำหรับบางจำนวนจริง $t$ และเป็นจริงทุกจำนวนเต็ม $x$
แทน $x=0$ ได้ $t=1$ หรือก็คือ $f(x)=x+1$ สำหรับจำนวนเต็ม $x$
สำหรับจำนวนเต็ม $m,n \not = 0$ ให้ $s=\dfrac{m}{n}$ แล้วพิจารณา $$f(m)=f(ns)=f(n)f(s)-f(n+s)+1$$
แต่ $n$ เป็นจำนวนเต็ม, $$m+1=(n+1)f(s)-(n+f(s))+1$$
$$m+n=nf(s)$$
$$f(s)=s+1$$
ดังนั้น $f(x)=x+1$ ทุกจำนวนตรรกยะ $x$ เป็นอีกคำตอบหนึ่ง
รวมสองกรณีแล้วได้สองคำตอบคือ $f \equiv 1$ และ $f(x)=x+1$ ทุกจำนวนตรรกยะ $x$ #